Indicadores Estatísticos *

Coeficiente de Determinação (R²)

O coeficiente de determinação (R²) é uma medida estatística que mostra a proporção da variabilidade na variável dependente que pode ser explicada pela variável independente(s) em um modelo de regressão. Em outras palavras, é uma métrica que indica o quão bem o modelo de regressão se ajusta aos dados observados.

Fórmula do R²

A fórmula do R² é:

Onde:

• Soma dos Resíduos Quadrados (SRQ) é a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pelo modelo;
• Soma Total dos Quadrados (STQ) é a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e a média dos valores observados.

Exemplo

Suponha que temos os seguintes dados observados (y) e os valores previstos (ŷ) por um modelo de regressão:

Primeiro, calculamos a média dos valores observados:

Em seguida, calculamos a SRQ e a STQ:

Agora, podemos calcular o R² usando a fórmula:

O R² obtido é 0.9525, o que indica que 95,25% da variabilidade na variável dependente pode ser explicada pelo modelo de regressão.

Value-at-Risk (VaR)

O Value-at-Risk (VaR) é uma medida de risco financeiro amplamente utilizada para estimar a probabilidade máxima de perda que um portfólio de investimentos pode enfrentar em um determinado período de tempo e com um determinado nível de confiança. Em outras palavras, o VaR quantifica o risco de perda em termos monetários, fornecendo uma estimativa do pior cenário para um investidor.

Interpretação do VaR

O VaR é geralmente expresso em uma combinação de um valor monetário, um período de tempo e um nível de confiança. Por exemplo, um VaR de R$1.000.000 em um dia com um nível de confiança de 95% indica que, com uma probabilidade de 95%, a perda máxima que o portfólio pode enfrentar em um dia é de R$1.000.000.

Métodos de cálculo do VaR

Existem várias abordagens para calcular o VaR, sendo as três principais:

• Método Histórico: utiliza os retornos históricos do portfólio para estimar a distribuição de perdas e, consequentemente, o VaR;
• Método Paramétrico (Variância-Covariância): assume que os retornos do portfólio seguem uma distribuição normal e calcula o VaR com base na média e na volatilidade (desvio padrão) dos retornos;
• Método de Simulação de Monte Carlo: utiliza simulações estocásticas para gerar uma distribuição de retornos futuros e estimar o VaR.

Fórmula do VaR

Existem várias abordagens para calcular o VaR, sendo as mais comuns a Simulação Históricam Variância-Covariância e Simulação de Monte Carlo, como citamos acima. Neste exemplo, utilizaremos a abordagem da Variância-Covariância.

A fórmula do VaR utilizando a abordagem da Variância-Covariância é:

Onde:

• Valor do Investimento é o valor total investido ou do portfólio;
• Z é o escore Z correspondente ao nível de confiança escolhido (por exemplo, 1,65 para 95% de confiança e 2,33 para 99% de confiança);
• Volatilidade é a medida da variação do retorno do investimento ou portfólio, geralmente calculada como o desvio padrão dos retornos.

Limitações do VaR

Embora o VaR seja uma medida de risco amplamente utilizada, ele também possui algumas limitações, incluindo:

• Não leva em conta a severidade das perdas além do ponto do VaR, ou seja, não informa sobre a distribuição das perdas no "pior dos piores" cenários;
• Não é aditivo, o que significa que o VaR de um portfólio não é necessariamente a soma dos VaRs individuais de cada ativo;
• É sensível às suposições e às escolhas de modelo, o que pode levar a estimativas imprecisas do risco.

Para lidar com algumas dessas limitações, outras medidas de risco, como o Expected Shortfall (ES), foram desenvolvidas e podem ser usadas em conjunto com o VaR para uma avaliação mais abrangente do risco.

Exemplo

Suponha que temos um portfólio de investimentos com as seguintes características:

Para calcular o VaR, primeiro encontramos o escore Z correspondente ao nível de confiança de 95%, que é 1,65. Em seguida, aplicamos a fórmula:

Com base nesse cálculo, podemos concluir que o VaR do portfólio é de R$ 16.500. Isso significa que, com um nível de confiança de 95%, há uma probabilidade de 5% de o portfólio sofrer uma perda maior do que R$ 16.500 em um determinado período.

Conditional Value-at-Risk (CVaR)

O Conditional Value-at-Risk (CVaR), também conhecido como Expected Shortfall (ES), é uma medida de risco financeiro que estima o valor médio das perdas esperadas em um portfólio de investimentos, dado que as perdas excedem um determinado limiar (geralmente o Value-at-Risk). O CVaR é considerado uma medida de risco mais abrangente que o VaR, pois leva em consideração a distribuição e a severidade das perdas além do ponto do VaR.

Fórmula do CVaR

A fórmula do CVaR é:

Onde:

• α é o nível de confiança (por exemplo, 0,95 para um nível de confiança de 95%);
• x representa a perda potencial;
• f(x) é a função densidade de probabilidade (PDF) da distribuição de perdas;
• ∫[VaR, ∞] x * f(x) dx é a integral da função densidade de probabilidade multiplicada pela perda, integrada do VaR até o infinito.

Exemplo

Suponha que temos um portfólio de investimentos com os seguintes retornos diários (em %):

Para calcular o CVaR com um nível de confiança de 95%, primeiro precisamos calcular o VaR. Neste exemplo, vamos utilizar o método histórico para simplificar. Ordenamos os retornos em ordem crescente:

Com um nível de confiança de 95%, queremos encontrar a perda que não será excedida em 95% das vezes. Como temos 5 observações, isso corresponde ao primeiro valor, ou seja, -3%.

Agora, calculamos o CVaR como a média das perdas que excedem o VaR:

O CVaR do portfólio é de -2,5%, o que significa que, em média, as perdas esperadas quando as perdas excedem o VaR de -3% são de 2,5%.

Sharpe Ratio

O Sharpe Ratio é uma medida de desempenho ajustada ao risco que indica quanto retorno excedente um investimento ou uma estratégia de investimento gerou em relação a um ativo livre de risco, por unidade de risco assumido (volatilidade). O Sharpe Ratio é amplamente utilizado para avaliar a eficiência de diferentes investimentos ou estratégias de investimento, permitindo a comparação de seu desempenho em uma base ajustada ao risco.

Fórmula do Sharpe Ratio

A fórmula do Sharpe Ratio é:

Onde:

• Retorno do investimento é o retorno médio do investimento ou da estratégia de investimento;
• Retorno do ativo livre de risco é o retorno médio de um ativo considerado livre de risco, como títulos do governo;
• Volatilidade do investimento é o desvio padrão dos retornos do investimento, que é utilizado como uma medida de risco.

Exemplo

Suponha que temos um investimento com um retorno médio de 12% ao ano e uma volatilidade de 15%. Além disso, assuma que a taxa de retorno livre de risco é de 2% ao ano. Podemos calcular o Sharpe Ratio da seguinte forma:

Um Sharpe Ratio de 0,67 indica que o investimento gerou 0,67 unidades de retorno excedente por unidade de risco assumida, em relação ao ativo livre de risco.

Sharpe Ratio e Estratégias Alavancadas

Em casos de estratégias alavancadas, a volatilidade é tão mais alta que a taxa livre de risco que este indicador perde relevância, já que o ajuste matemático divide o seu valor pelo quadrado do múltiplo de alavancagem. Isso pode levar a resultados enganosos e uma interpretação inadequada do desempenho da estratégia em relação ao risco assumido. Mesmo assim, mantivemos o indicador nesta lista para que pudéssemos explicar por que ele perde relevância em tais casos e alertar os investidores sobre a necessidade de considerar outras medidas de desempenho ajustadas ao risco ao avaliar estratégias alavancadas.

Sortino Ratio

O Sortino Ratio é uma medida de desempenho ajustada ao risco semelhante ao Sharpe Ratio, mas leva em consideração apenas a volatilidade negativa (downside risk) em vez de toda a volatilidade. Isso o torna mais adequado para avaliar investimentos e estratégias de investimento que apresentam assimetrias nos retornos ou que estão sujeitas a eventos extremos de baixa (tail risk). O Sortino Ratio é usado para determinar quanto retorno excedente um investimento ou estratégia de investimento gerou em relação a um ativo livre de risco, por unidade de risco negativo assumido.

Fórmula do Sortino Ratio

A fórmula do Sortino Ratio é:

Onde:

• Retorno do investimento é o retorno médio do investimento ou da estratégia de investimento;
• Retorno do ativo livre de risco é o retorno médio de um ativo considerado livre de risco, como títulos do governo;
• Volatilidade negativa do investimento é o desvio padrão dos retornos negativos do investimento, que é utilizado como uma medida de risco negativo (downside risk).

Exemplo

Suponha que temos um investimento com um retorno médio de 12% ao ano e uma volatilidade negativa de 10%. Além disso, assuma que a taxa de retorno livre de risco é de 2% ao ano. Podemos calcular o Sortino Ratio da seguinte forma:

Um Sortino Ratio de 1,0 indica que o investimento gerou 1 unidade de retorno excedente por unidade de risco negativo assumida, em relação ao ativo livre de risco.

Sortino Ratio e Estratégias Alavancadas

Em casos de estratégias alavancadas, a volatilidade é tão mais alta que a taxa livre de risco que este indicador perde relevância, já que o ajuste matemático divide o seu valor pelo quadrado do múltiplo de alavancagem. Isso pode levar a resultados enganosos e uma interpretação inadequada do desempenho da estratégia em relação ao risco assumido. Mesmo assim, mantivemos o indicador nesta lista para que pudéssemos explicar por que ele perde relevância em tais casos e alertar os investidores sobre a necessidade de considerar outras medidas de desempenho ajustadas ao risco ao avaliar estratégias alavancadas.

Profit Factor

O Profit Factor é uma medida de desempenho de uma estratégia de investimento que relaciona os ganhos totais com as perdas totais. Ele é usado para avaliar a eficácia de uma estratégia de investimento em gerar lucros líquidos, independentemente do risco assumido. Um Profit Factor maior que 1 indica que a estratégia é lucrativa, enquanto um valor menor que 1 sugere que a estratégia gera perdas líquidas.

Fórmula do Profit Factor

A fórmula do Profit Factor é:

Onde:

• Ganhos totais são a soma de todos os lucros obtidos com a estratégia de investimento;
• Perdas totais são a soma de todas as perdas incorridas pela estratégia de investimento.

Exemplo

Suponha que temos uma estratégia de investimento com os seguintes resultados em um determinado período:

Podemos calcular o Profit Factor da seguinte forma:

Um Profit Factor de 2,33 indica que a estratégia gerou 2,33 vezes mais lucro do que perdas no período analisado.

Drawdown

O Drawdown é uma medida de risco que representa a queda máxima de um investimento ou estratégia de investimento de seu pico até seu ponto mais baixo antes de se recuperar. O Drawdown é usado para avaliar a exposição ao risco de uma estratégia de investimento e ajuda os investidores a entenderem o tamanho das perdas que podem ser esperadas durante um período de baixa performance.

Fórmula do Drawdown

A fórmula do Drawdown é:

Onde:

• Pico é o valor máximo atingido pelo investimento ou estratégia de investimento;
• Mínimo é o valor mínimo atingido pelo investimento ou estratégia de investimento após o pico.

Exemplo

Suponha que temos uma estratégia de investimento que apresentou o seguinte desempenho em um determinado período:

Podemos calcular o Drawdown da seguinte forma:

Um Drawdown de 0,25 (ou 25%) indica que a estratégia de investimento teve uma queda máxima de 25% de seu pico até seu ponto mais baixo antes de se recuperar.

Drawdown Ratio

O Drawdown Ratio é uma medida de risco que combina o Drawdown e o Value at Risk (VaR) para padronizar a escala de medição, permitindo a comparação de estratégias entre diferentes ativos, como WIN e WDO. Ele busca analisar o tamanho do Drawdown em relação ao risco assumido, conforme medido pelo VaR, proporcionando uma visão mais completa do desempenho da estratégia e de sua exposição ao risco.

Fórmula do Drawdown Ratio

A fórmula do Drawdown Ratio é:

Onde:

• Drawdown é a queda máxima de um investimento ou estratégia de investimento de seu pico até seu ponto mais baixo antes de se recuperar;
• VaR é o Value at Risk, uma medida de risco que estima a perda máxima esperada para um determinado nível de confiança e horizonte de tempo.

Exemplo

Suponha que temos uma estratégia de investimento com os seguintes valores:

Podemos calcular o Drawdown Ratio da seguinte forma:

Um Drawdown Ratio de 2,5 indica que o tamanho do Drawdown foi 2,5 vezes maior que o VaR estimado para a estratégia de investimento. Isso permite que os investidores comparem a exposição ao risco de diferentes estratégias e ativos, levando em conta tanto o tamanho das perdas quanto a probabilidade dessas perdas ocorrerem.

O Drawdown Ratio é útil para identificar estratégias que têm uma maior exposição ao risco do que o esperado com base no VaR. Por exemplo, se uma estratégia apresenta um Drawdown Ratio significativamente maior do que 1, isso pode indicar que a estratégia está sujeita a perdas maiores do que o sugerido pelo VaR e que os investidores devem considerar outros indicadores de risco ou reavaliar sua abordagem ao gerenciamento de risco.

Pico (Ramp Up)

O Pico, também conhecido como Ramp Up, é uma medida de desempenho que representa a alta máxima de um investimento ou estratégia de investimento desde seu início até um ponto específico no tempo. O Pico é usado para avaliar o crescimento de uma estratégia de investimento e ajuda os investidores a entenderem o tamanho dos ganhos que podem ser esperados durante um período de alta performance.

Fórmula do Pico (Ramp Up)

A fórmula do Pico (Ramp Up) é:

Onde:

• Valores da Estratégia são os valores do investimento ou estratégia de investimento em diferentes pontos no tempo.

Exemplo

Suponha que temos uma estratégia de investimento que apresentou o seguinte desempenho em um determinado período:

Podemos calcular o Pico (Ramp Up) da seguinte forma:

Um Pico (Ramp Up) de 1500 indica que a estratégia de investimento atingiu seu valor máximo de 1500 no período analisado. Essa informação pode ser útil para investidores ao avaliar o desempenho passado da estratégia e para entender o potencial de crescimento durante períodos de alta performance.

Pico (R$) - Ramp Up

O Pico (R$), também conhecido como Ramp Up, é a mesma medida do Ramp Up, porém convertida para a moeda R$, o que permite comparar ativos que possuem diferentes fatores de conversão entre a sua unidade de negociação e a moeda em que ele é liquidado. Esse indicador é útil para comparar o desempenho máximo de ativos como WIN e WDO, que são negociados em pontos, mas possuem diferentes fatores de conversão para R$.

Fórmula do Pico (R$)

A fórmula do Pico (R$) é:

Onde:

• Pico (Pontos) é o valor máximo atingido pelo investimento ou estratégia de investimento em pontos;
• Fator de Conversão é o fator que converte os pontos em R$. No caso do WIN, o fator de conversão é 0,2 e, no caso do WDO, é 10.

Exemplo

Suponha que temos duas estratégias de investimento, uma no mercado de WIN e outra no mercado de WDO, que apresentaram os seguintes picos em pontos:

Podemos calcular os picos em R$ da seguinte forma:

Com base nesses cálculos, podemos concluir que o Pico (Ramp Up) em R$ para a estratégia no mercado de WIN foi de R$ 100 e para a estratégia no mercado de WDO foi de R$ 1000. Essa informação pode ser útil para investidores ao comparar o desempenho passado de diferentes estratégias e ativos, levando em conta as diferenças nos fatores de conversão para a moeda em que os ativos são liquidados.

Acumulado

O Acumulado é uma medida de desempenho que mostra o total acumulado por uma estratégia de investimento no período analisado. Esse indicador ajuda os investidores a avaliar a eficácia de uma estratégia ao longo do tempo, considerando tanto os ganhos quanto as perdas acumuladas.

Fórmula do Acumulado

A fórmula do Acumulado é:

Onde:

• Valor Final é o valor do investimento ou estratégia de investimento no final do período analisado;
• Valor Inicial é o valor do investimento ou estratégia de investimento no início do período analisado.

Exemplo

Suponha que temos uma estratégia de investimento que apresentou o seguinte desempenho em um determinado período:

Podemos calcular o Acumulado da seguinte forma:

Um Acumulado de 500 indica que a estratégia de investimento acumulou um total de 500 unidades monetárias no período analisado. Essa informação pode ser útil para investidores ao avaliar o desempenho passado da estratégia e para entender o potencial de crescimento ao longo do tempo.

Acumulado (R$)

O Acumulado (R$) é a mesma medida do Acumulado (Pontos), porém convertida para a moeda R$, o que permite comparar ativos que possuem diferentes fatores de conversão entre a sua unidade de negociação e a moeda em que ele é liquidado. Esse indicador é útil para comparar o desempenho acumulado de ativos como WIN e WDO, que são negociados em pontos, mas possuem diferentes fatores de conversão para R$.

Fórmula do Acumulado (R$)

A fórmula do Acumulado (R$) é:

Onde:

• Acumulado (Pontos) é a quantidade acumulada pelo investimento ou estratégia de investimento em pontos;
• Fator de Conversão é o fator que converte os pontos em R$. No caso do WIN, o fator de conversão é 0,2 e, no caso do WDO, é 10.

Exemplo

Suponha que temos duas estratégias de investimento, uma no mercado de WIN e outra no mercado de WDO, que apresentaram os seguintes acumulados em pontos:

Podemos calcular os acumulados em R$ da seguinte forma:

Com base nesses cálculos, podemos concluir que o Acumulado (R$) para a estratégia no mercado de WIN foi de R$ 100 e para a estratégia no mercado de WDO foi de R$ 1000. Essa informação pode ser útil para investidores ao comparar o desempenho passado de diferentes estratégias e ativos, levando em conta as diferenças nos fatores de conversão para a moeda em que os ativos são liquidados.

Acumulado Ratio

O Acumulado Ratio é uma medida que relaciona o Acumulado (Pontos) de uma estratégia de investimento com o seu Valor em Risco (VaR). Ao dividir o Acumulado (Pontos) pelo VaR, o indicador normaliza o resultado, permitindo que ativos de diferentes classes sejam comparados em termos de desempenho acumulado ajustado ao risco.

Fórmula do Acumulado Ratio

A fórmula do Acumulado Ratio é:

Onde:

• Acumulado (Pontos) é a quantidade acumulada pelo investimento ou estratégia de investimento em pontos;
• VaR é o Valor em Risco do investimento ou estratégia de investimento, que representa uma estimativa do potencial máximo de perda em um determinado período e nível de confiança.

Exemplo

Suponha que temos duas estratégias de investimento, uma no mercado de ações e outra no mercado de commodities, que apresentaram os seguintes resultados:

Podemos calcular os Acumulado Ratios da seguinte forma:

Com base nesses cálculos, podemos concluir que o Acumulado Ratio para a estratégia no mercado de ações foi de 5 e para a estratégia no mercado de commodities foi de 8. Essa informação pode ser útil para investidores ao comparar o desempenho passado de diferentes estratégias e ativos, levando em conta o ajuste ao risco. No exemplo acima, mesmo que a estratégia no mercado de commodities tenha acumulado menos pontos do que a estratégia no mercado de ações, seu Acumulado Ratio maior indica um desempenho ajustado ao risco superior.